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L’IA ha contribuito a restringere i limiti della costante di Grothendieck
Un gruppo di ricerca di Princeton ha usato l’IA per contribuire a restringere i limiti della costante di Grothendieck, con l’intervento dei ricercatori quando il sistema ha continuato a ripetere approcci falliti. Il caso di studio descrive
AI.info Team · Scritto con l’IA ·
Il 13 ottobre, la Princeton University ha descritto un lavoro di ricerca matematica in cui l’IA ha contribuito a restringere i limiti della costante di Grothendieck, ma sono servite persone per riconoscere che cosa significassero i suoi ripetuti fallimenti. Il caso di studio, pubblicato su arXiv in agosto, documenta un sistema capace di sviluppare ragionamenti matematici complessi una volta scelta una direzione dai ricercatori, ma in difficoltà nel capire quando una linea di ricerca aveva esaurito le proprie possibilità. Secondo gli autori, questa distinzione conta man mano che l’IA passa dal rispondere a domande ben definite al condurre ricerche prolungate.
Una costante i cui limiti sono stati ristretti dal lavoro congiunto di persone e IA
La costante di Grothendieck, individuata per la prima volta dal matematico Alexander Grothendieck nel 1953, misura la differenza tra determinati problemi di ottimizzazione discreta e le loro versioni continue rilassate. L’articolo matematico che accompagna il caso di studio riporta limiti inferiore e superiore migliorati: 6π/11 ≤ KG ≤ π/(2 log(1+√2)) − 10−4. Insieme, i due limiti stabiliscono che la cifra dei decimi della costante, finora sconosciuta, è 7.
Il caso di studio sull’IA si concentra sul risultato relativo al limite inferiore, KG ≥ 6π/11. Gli autori affermano che il sistema ha scoperto quel limite e lo ha dimostrato per primo; in seguito hanno controllato personalmente la dimostrazione e ne hanno rivisto la stesura. L’articolo che accompagna il caso di studio presenta i risultati matematici, mentre il caso di studio racconta come si è svolto il lavoro.
Sei tentativi falliti hanno indicato una nuova domanda
Il sistema di ricerca ha esplorato modi per migliorare un limite superiore variando una famiglia di metodi matematici. Nel corso di sei tentativi distinti, ha incontrato ripetutamente lo stesso ostacolo, ma ha continuato a provare nuove varianti anziché chiedersi se l’ostacolo riguardasse l’intera famiglia. Alla sessione 18, gli operatori umani lo hanno reindirizzato: invece di cercare un’altra costruzione, avrebbe dovuto mettere insieme i tentativi falliti e provare a dimostrare l’esistenza di un ostacolo generale.
Quel cambio di prospettiva ha modificato il compito. Un ostacolo generale avrebbe prodotto a sua volta un limite inferiore, trasformando la ricerca arenata in un risultato matematico diverso. Con questa impostazione e ulteriori indicazioni, il sistema ha sviluppato la dimostrazione centrale, che i ricercatori hanno poi verificato in modo indipendente. Secondo il caso di studio, l’intervento non ha fornito alcun nuovo risultato matematico: ha collegato gli elementi che il sistema aveva già raccolto a una domanda di ricerca più proficua.
«L’intervento non ha apportato nulla di nuovo sul piano matematico: la formulazione del problema aveva suggerito questa dualizzazione fin dall’inizio e, nel corso dell’esecuzione, il sistema aveva raccolto proprio gli elementi necessari senza stabilire il collegamento.»
Alan Li, Rahul Saha, Anton Xue, Swarat Chaudhuri, Adam Klivans, Pravesh K Kothari e Raghu Meka, autori del caso di studio
Circa 240 sessioni, con le persone a stabilire le priorità
L’esecuzione è durata dal 16 giugno al 24 luglio 2026 e ha compreso circa 240 sessioni di ricerca. Ha utilizzato GPT-5.5-Pro di OpenAI come modello di ragionamento, passando a GPT-5.6-Sol a metà dell’esecuzione, insieme a Claude Code di Anthropic come agente di programmazione. Il modello di ragionamento è stato chiamato 2.091 volte e ha utilizzato circa 152 milioni di token; gli autori stimano un costo API di circa 5.400 dollari, mentre l’agente di programmazione funzionava tramite abbonamento.
Le persone hanno impartito circa 40 direttive, stabilendo le priorità, reindirizzando la ricerca e verificando le affermazioni. I ricercatori descrivono il sistema come efficace nello sviluppare dimostrazioni e condurre esperimenti dopo che era stata scelta una linea d’azione generale. Le sue debolezze sono emerse nella scelta di quella linea d’azione e nel mantenere presenti importanti cautele da una sessione all’altra: un risultato numerico è stato brevemente considerato un record prima che una verifica interna lo giudicasse non supportato e lo ritirasse.
Il risultato non è una prova di autonomia
Gli autori avvertono che il loro sistema ha lavorato a partire da un quadro matematico, appunti precedenti e possibili direzioni forniti dal gruppo. Distinguono inoltre il limite inferiore che hanno verificato da altri risultati testati dal sistema che non avevano ancora controllato personalmente. Il caso di studio documenta dunque una collaborazione produttiva in un progetto di ricerca, non dimostra che l’IA abbia scelto e portato a termine autonomamente un programma di ricerca.
Per i ricercatori di Princeton, l’episodio mette in luce un limite preciso: produrre lavoro tecnico non equivale a riconoscerne l’importanza. Il sistema è riuscito a trasformare un cambio di prospettiva scelto dagli esseri umani in una dimostrazione, ma non ha dedotto in modo affidabile, da solo, che sei fallimenti simili potessero costituire, nel loro insieme, un teorema.