Il simbolo del surrogato: misurare la provenienza numerica nei solutori neurali di PDE

Abstract degli autori

I modelli neurali surrogati per le PDE vengono addestrati sui risultati di solutori numerici, che contengono sia l’evoluzione fisica sia errori di discretizzazione specifici del solutore. Poiché i surrogati vengono anche valutati su traiettorie escluse dall’addestramento e prodotte dallo stesso solutore, i benchmark standard non riescono a distinguere la fedeltà all’evoluzione esatta dall’imitazione dello schema numerico. Introduciamo un metodo diagnostico empirico basato sul simbolo di Fourier: sondiamo l’operatore linearizzato a un passo di un surrogato addestrato usando singoli modi di Fourier e lo confrontiamo con riferimenti relativi sia all’evoluzione esatta sia allo schema usato per l’addestramento. Per tenere conto della distorsione spettrale dovuta all’architettura, addestriamo reti identiche su schemi con firme ortogonali, una dissipativa e l’altra dispersiva, e confrontiamo gli operatori appresi. Nell’advezione lineare, i surrogati appresi riproducono gli errori di ampiezza e di fase degli schemi usati per l’addestramento; la differenza tra i surrogati addestrati sui due schemi raggiunge oltre il 99,8\% del limite massimo previsto analiticamente per un’imitazione completa. Lo stesso comportamento si osserva per un operatore neurale di Fourier non locale e, a livello di operatore, per la dinamica non lineare di Burgers. Questi risultati mostrano che la concordanza con dati di test generati dal solutore non dimostra, da sola, la fedeltà all’evoluzione esatta. Le misurazioni del simbolo di Fourier offrono un metodo diretto per diagnosticare la provenienza numerica.