Operatore neurale della misura armonica

Abstract degli autori

Presentiamo Neural Harmonic Measure Operator (NHMO), un risolutore neurale per problemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) ellittiche su domini di forma variabile. La misura armonica di un dominio è una distribuzione di probabilità sul suo bordo che, integrata rispetto a qualsiasi dato al contorno, restituisce la soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace. Dipende soltanto dalla geometria, non dai dati al contorno. NHMO parametrizza la densità di questa misura come un kernel sul bordo basato su transformer, addestrato con campioni dei punti di uscita di Walk-on-Spheres. In questo modo, un unico kernel addestrato gestisce valori al contorno diversi su una stessa forma senza nuovo addestramento. Estendiamo il metodo all’equazione di Poisson mediante una scomposizione classica, usando una rete ausiliaria che ammortizza il calcolo della correzione dovuta alla sorgente ed evita la quadratura volumetrica singolare che impedisce la valutazione diretta. Nella fase di inferenza, sia nuovi valori al contorno sia nuove sorgenti producono soluzioni delle PDE mediante una nuova integrazione rispetto al kernel e al sollevamento appresi, senza nuovo addestramento. NHMO supera quattro metodi di riferimento precedenti in tutte e cinque le categorie del benchmark MCB-B 3D per l’equazione di Poisson su domini di forma variabile ed è competitivo con i principali metodi di riferimento basati su operatori neurali in un ambiente di prova 2D controllato.