Gradienti fattorizzati per diffeomorfismi parametrici scalabili e altamente espressivi

Abstract degli autori

I diffeomorfismi sono uno strumento matematico flessibile che preserva la topologia, permette di modellare deformazioni spaziali o temporali complesse ed è utilizzato in diversi campi scientifici. Resta però difficile ottenere deformazioni che siano al tempo stesso altamente espressive ed efficienti dal punto di vista computazionale. Le trasformazioni Continuous Piecewise-Affine Based (CPAB) (Freifeld et al., ICCV 2015; IEEE TPAMI 2017) offrono una soluzione interessante: parametrizzano una famiglia di diffeomorfismi mediante campi di velocità continui, affini a tratti rispetto a una tassellazione scelta del dominio. È importante notare che $d=\dim(θ)$, la dimensione del vettore dei parametri $θ$, dipende dalla finezza della tassellazione, non dalla risoluzione dei dati. Nonostante questa parametrizzazione compatta, l’ottimizzazione delle trasformazioni CPAB è stata a lungo ostacolata dallo stretto legame tra l’integrazione delle traiettorie e il calcolo dei gradienti rispetto a $θ$. Introduciamo FG-CPAB, una formulazione a gradienti fattorizzati per trasformazioni CPAB scalabili. Separando l’integrazione dalla proiezione nello spazio dei parametri, il nostro metodo riduce la complessità del calcolo dei gradienti da $\mathcal{O}(dTN)$ a $\mathcal{O}(TN+dC)$, dove $T$ è il numero di passi di integrazione, $N$ il numero di punti trasformati e $C$ il numero di celle della tassellazione. Questa riformulazione consente accelerazioni fino a quattro ordini di grandezza (per esempio, $\approx 10^4\times$ in 2D), notevoli risparmi di memoria (per esempio, una riduzione di $\approx 500\times$ del picco di memoria GPU utilizzata in 2D) e un’espressività nettamente superiore. Per la prima volta, ciò rende pratiche le trasformazioni CPAB con tassellazioni fini in 2D e 3D, permettendo di ottenere diffeomorfismi parametrici altamente espressivi.