Un quadro metodologico per seguire un percorso su un fibrato per le disequazioni variazionali

Abstract degli autori

Sviluppare algoritmi generali con garanzie di convergenza asintotica globale per le disequazioni variazionali (VI) resta una sfida di lunga data. Questo articolo propone un quadro metodologico per seguire un percorso nella risoluzione di VI in dimensione finita, con applicazioni continue arbitrarie e domini politopali. L’approccio trasforma dapprima una VI generale in una VI liscia su un simplesso. L’innovazione principale consiste nel formulare il problema risultante su un fibrato, detto fibrato dei punti fissi, la cui struttura geometrica consente di integrare in modo sistematico l’inizializzazione, il tracciamento del percorso e la prevenzione delle singolarità. Senza imporre ipotesi di monotonia o simili, il metodo garantisce una convergenza lineare globale per le soluzioni non singolari e una convergenza lineare globale fino a qualsiasi precisione prefissata per quelle singolari. Negli esperimenti numerici, l’algoritmo ha raggiunto una precisione di $10^{-5}$ su tutte le 6.400 istanze generate casualmente, con dimensioni fino a 1024. Il codice e i dati sono disponibili all’indirizzo https://github.com/shb20tsinghua/FiberBundle_VI.